intersecção entre retas

Equação de uma reta r, conhecidos o coeficiente angular e um ponto de r

   

Seja r uma reta de coeficiente angular m. Sendo P(X₀, Y₀), P  r, e Q(x,y) um ponto qualquer de r(QP), podemos escrever:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da reta r que passa por P(1, 2), sendo m=3. Assim, temos X₀=1  e Y₀=2. Logo:

y-y₀=m(x-x₀)=y-2 = 3(x - 1) = y-2 = 3x - 3 = 3x - y - 1 = 0

que é a equação geral de r.

• Representação gráfica de retas  

 Para representar graficamente as retas de equação ax + by + c = 0 ( b0), isolamos a variável y e atribuímos valores a x, obtendo pares ordenados que são pontos da reta.

   Assim, é mais conveniente usar a equação na forma reduzida, já que ela apresenta o y isolado.

• Coordenadas do ponto de intersecção de retas

  

 A intersecção das retas r e s, quando existir, é o ponto P(x, y), comum a elas, que é a solução do sistema formado pelas equações das duas retas.

   Vamos determinar o ponto de intersecção, por exemplo, das retas r: 2x +y - 4 =0 e s: x -y +1=0. Montando o sistema e resolvendo-o, temos:

   

Substituindo esse valor em x -y = -1, temos:

1 - y = -1

y = 2

   

Logo, P(1, 2) é o ponto de intersecção das retas r e s.

Graficamente, temos:

Posições relativas entre retas

• Paralelismo

   

Duas retas, r e s, distintas e não-verticais, são paralelas se, e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais.

• Concorrência

  

 Dadas as retas r: a₁x +b₁y + c₁ = 0 e s: a₂x + b₂y + c₂ = 0, elas serão concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes:

        

Como exemplo, vamos ver se as retas r: 3x - 2y + 1 = 0  e  s: 6x + 4y + 3 = 0 são concorrentes:  

• Perpendicularismo

        Se r  e s são duas retas não-verticais, então r é perpendicular a s se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1. Lê-se . Acompanhe o desenho:

• Ângulo entre duas retas

   Sendo r e s duas retas não-verticais e não-perpendiculares entre si, pelo teorema do ângulo externo , temos:

   

 Dependendo da posição das duas retas no plano, o ângulo  pode ser agudo ou obtuso. Logo:

    

Essa relação nos fornece o ângulo agudo  entre r e s, pois . O ângulo obtuso  será o suplemento de .

• Distância entre ponto e reta

  

 Dados um ponto P(x₁, y₁) e uma reta r:ax + by + c = 0, a distância entre eles (d_pr)é dada por:

Vamos calcular a distância, por exemplo, do ponto P(-1,2) à reta r: x - 2y + 1 = 0.

Temos P(-1, 2) = P(x1, y1), a = 1, b= - 2  e  c=1. Assim:

Exercícios:

Equação Reduzida da Reta

2) Escreva as equações reduzidas das retas determinadas por:

  a) A(2,3) B(0,1)

  b) M(-3,-1) N(2,-5)

 a)

  3x - 0y + 2 - 0 - 2y - x = 0  2x - 2y + 2 = 0    -2y = -2x - 2    y = x + 1

b)

  -x + 2y + 15 + 2 + 3y + 5x = 0   4x + 5y + 17 = 0   5y = -4x - 17    y = -4 x - 17

                                                                                                                                    5       5   

Coeficiente angular

3) Calcule o coeficiente angular das retas de equações:

  a) 3x + 4y - 7 = 0

  b) -6x + 8y + 3 = 0

a) 4y = -3x + 7

      y = -3 x + 7   coeficiente angular = -3

             4       4                                   4

b) 8y = 6x - 3

       y = 6 x - 3 = 3 x - 3     coeficiente angular  = 3

             8      8    4      8                                    4

Intersecção de Retas

4) Determine o ponto de intersecção dos seguintes pares de retas concorrentes:

  a) 3x + 2y - 8 = 0 e 4x + 5y - 13 = 0

  b) 2x - 5y - 2 = 0 e 3x + 5y -28 = 0

a)  3x + 2y = 8   . (-4)     -12x - 8y = -32       7y = 7

     4x + 5y = 13 . (3)       12x + 15y = 39      y = 7 = 1

                                       0x + 7y = 7               7      

3x + 2.1 = 8

  x = 6 = 2          I (2,1)

        3   

b) 2x - 5y = 2       5x = 30            2.6 - 5y = 2

    3x + 5y = 28      x = 30 = 6       -5y = 2 - 12

    5x + 0y = 30            5                y = -10 = 2            I (6,2)

                                                           -5   

Paralelismo m1 = m2

5) Verifique se as retas r e s abaixo são paralelas em cada um dos seguintes casos:

  a) r: 6x + 7y + 3 = 0 e s: 12x + 14y - 21 = 0

  b) r: 5x + 3y - 10 = 0 e s: 5x - 10y - 10 = 0

a) 7y = -6x - 3       14y = -12x - 21 y = -12 x - 21  y = -6 x - 3     

      y = -6 x -3                                    14      14         7     2

             7    7 

coeficiente angular igual, portanto r//s.  m1 = m2

b) 3y = -5x +10      -10y = -5x + 10  y = 5 x - 10  y = 1 x - 1

      y = -5 x + 10                                 10    10        2

             3        3

coeficiente angular diferente, portanto r não paralela a s. m1 diferente de m2

Perpendicularismo m1.m2 = -1

6) Verifique se as retas r e s abaixo são perpendiculares em cada um dos casos:

  a) r: x + 7y - 10 = 0 e s: y = 7x + 3

  b) r: x - y + 7 = 0 e s: 2x + 5y - 7 = 0   

a) r: 7y = -x + 10           s: y = 7x + 3

      y = -1 x + 10                  m1.m2 = -1    -1 . 7 = -7 = -1    r e s são perpendiculares 

             7       7                                         7         7 

b)r:  -y = -x - 7        y = 1x + 7     s: 5y = -2x + 7 

     y = 1 x + 7                                 y = -2 x + 7       1 . -2 = -2   r e s não são perpendiculares e nem paralelas

           1      1                                        5       5             5     5     

http://somatematica.com.br/emedio/retas/retas9.php

                                              videos:

Geometria Analitica

Área de Triângulo

Na geometria plana encontramos a área de um triângulo fazendo uma relação com o valor de suas dimensões, e na trigonometria, com o valor do seno de um ângulo interno relacionado com os lados do triângulo é possível também encontrar a sua área.

A geometria analítica também possui seus artifícios para o cálculo da área de um triângulo, nesse caso é necessário que saibamos as coordenadas de seus três vértices para que o triângulo possa ser representado em um plano cartesiano.

Considere o triângulo de vértices A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) e C(x_C, y_C), veja a sua representação em um plano cartesiano:

 

A partir dessa representação podemos dizer que o cálculo da área (A) de um triângulo através dos conhecimentos da geometria analítica é dado pelo determinante dos vértices dividido por dois. 

A = |D|
        2
 

 Onde D =

Exemplos: A área de um triângulo é 25/2 e seus vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). Nesse caso qual será o possível valor de k?

Sabemos que a área A = |D|, portanto é preciso que encontremos o valor de D.
                                        2 

D =

D = -7 + 2k + 28 -2
D = 2k + 19

Substituindo a fórmula teremos:

A = |D|
       2

25= 2k + 19
 2           2

25 = 2k + 19
25 – 19 = 2k
6 = 2k
6:3 = k
k = 3


http://www.mundoeducacao.com/matematica/area-um-triangulo-pela-geometria-analitica.htm


exercícios:

1) Determinar a área do triângulo a seguir considerando que a sua base mede 23 metros e a altura 12 metros.

2) Calcule a área do triângulo a seguir: 

p = (9 + 7 + 14) / 2
p = 30 / 2
p = 15

A = √15(15 – 9)(15 – 7)(15 – 14)
A = √15 * 6 * 8 * 1
A = √720
A = 26,83 cm2(aproximadamente)

3) Um triângulo possui lados medindo 5 cm e 8 cm, respectivamente. Sabendo que ele possui um ângulo na base medindo 30º, determine a área desse triângulo.

vídeo:

Distância de um ponto a uma reta

A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º). Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da equação geral da reta e da coordenada do ponto. A figura a seguir estabelece a condição gráfica da distância entre o ponto P e a reta r, sendo o segmento PQ a distância entre eles.

Existem várias distâncias entre o ponto P e a reta s, assim como existem vários caminhos até um destino. Mas para nós interessa somente a menor distância.

A distância entre P e t é dada pela fórmula:

Onde, a, b e c são os coeficientes da equação da reta s e x_o e y_o são as coordenadas do ponto P.

Exemplo 1.

Calcule a distância entre o ponto P(0, 10) e a reta s: x – y + 1 = 0.

Solução: Da equação geral da reta s, obtemos: a = 1, b = – 1 e c = 1.

Segue que:

 

Exemplo 2.

Determine a que distância está o ponto A(– 2, 3) da reta t: 4x + 3y – 2 = 0.

Solução: Da equação da reta t, obtemos: a = 4, b = 3 e c = – 2.

Segue que:

http://www.alunosonline.com.br/matematica/distancia-entre-ponto-reta.html


exercícios:

Questão 01.Dado o ponto B com coordenadas (2, 6) e reta s: 2x + 4y – 1 = 0, determine a distância entre eles de acordo com os conceitos e fundamentos da Geometria Analítica.  

Resposta 

Questão 2

(Fuvest-SP)
Calcule a distância entre a reta r1, de equação 3y = 4x – 2, e a reta r2, de equação 3y = 4x + 8, sabendo que r1//r2.

Resposta 

vídeo:

Ângulos entre retas

Considere duas retas distintas e concorrentes do plano, r e s, ambas oblíquas aos eixos coordenados e não perpendiculares entre si. As duas retas formam um ângulo entre si, que denominaremos de α. Esse ângulo α é tal que:

Onde m_s e m_r são os coeficientes angulares das retas s e r, respectivamente.
Se ocorrer de uma das retas ser vertical e a outra oblíqua, o ângulo α formado entre elas é tal que:

Exemplo 1. 

Determine o ângulo formado entre as retas r: x - y = 0 e s: 3x + 4y – 12 =0

Solução: Para determinar o ângulo formado entre as duas retas, precisamos conhecer o coeficiente angular de cada uma delas. Assim, vamos determinar o coeficiente angular das retas r e s.

Para a reta r, temos:

x - y = 0
y = x

Portanto, m_r = 1.
Para a reta s, temos:

 Portanto, m_s = -3/4

Conhecendo os valores dos coeficientes angulares, basta aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas:

Exemplo 2.

 Determine o ângulo formado entre as retas r: y = 3x + 4 e s: y = – 2x + 8.

Solução: Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas dadas.

Para a reta r, temos:
y = 3x + 4
m_r = 3
Para a reta s, temos:
y = – 2x + 8
m_s = – 2

Aplicando a fórmula do ângulo entre duas retas, obtemos: 

http://www.mundoeducacao.com/matematica/angulo-formado-entre-duas-retas.htm



Exercícios:

Questão 01.Determine os valores de x e y nas figuras a seguir:

Resposta 

Os ângulos 15x – 45 e 12x – 15 são opostos pelo vértice, portanto são iguais.
15x – 45 = 12x – 15
15x – 12x = 45 – 15
3x = 30
x = 10º
Os ângulos 15x – 45º e y são suplementares, isto é, a soma entre eles resulta em 180º.
15x – 45 + y = 180
15 * 10 – 45 + y = 180
150 – 45 + y = 180
105 + y = 180
y = 180 – 105
y = 75º

 Questão 02.Calcule o valor de x na figura.

Resposta 

Os ângulos da figura são complementares, isto é, a soma entre eles é igual a 90º.
x + 40 + 3x + x – 10 = 90
5x + 30 = 90
5x = 90 – 30
5x = 60
x = 12

Questão 03.(FAM–SP) Dadas às retas r e s, paralelas entre si, e t, concorrente com r e s, calcule o valor de x:

a) 51º

b) 35º

c) 90º

d) 50º

e) 45º

Resposta 

Os ângulos são suplementares, isto é, a soma entre eles é igual a 180º.
2x + 30 + x = 180
3x = 180 – 30
3x = 150
x = 150/3
x = 50º
Resposta correta alternativa d.



vídeo: